Question

如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：||PM|-|PN||=2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设d为点P到直线l：的距离，若|PM|=2|PN|²，求的值．

Answer

（1）联系双曲线的第一定义，半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，
（2）联系双曲线的第二定义，到定点距离比上到对应直线的距离等于常数e（离心率）．
【解析】
（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，
所以双曲线的方程为
（II）解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|2，①
知|PM|＞|PN|，故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2．②
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=，
所以|PN|=．
因为双曲线的离心率e==2，直线l：x=是双曲线的右准线，故=e=2，
所以d=|PN|，因此
解法二：
设P（x，y），因|PN|≥1知
|PM|=2|PN|2≥PN|＞|PN|，
故P在双曲线右支上，所以x≥由双曲线方程有y2=3x2-3．
因此，
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2（4x2-4x+1），即8x2-10x+1=0．
所以x=（舍去）．
有|PM|=2x+1=
d=x-=．
故