Question

若方程x²+ax+b=0有不小于2的实根，则a²+b²的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．

Answer

本题首先有一个化归问题，把方程x2+ax+b=0看作以（a，b）为动点的直线l：xa+b+x2=0的方程，把代数中的问题转化为解析几何的问题，这是解题的关键，由点到直线的距离d的最小性得到要求的量与已知之间的关系，构造函数，根据函数的单调性解出最值．
【解析】
将方程x2+ax+b=0看作以（a，b）为动点的直线l：xa+b+x2=0的方程，
则a2+b2的几何意义为l上的点（a，b）到原点O（0，0）的距离的平方，
由点到直线的距离d的最小性知a2+b2≥d2
（x≥2），
令u=x2+1，易知（u≥5）在[5，+∞）上单调递增，
则f（u）≥f（5）=，
∴a2+b2的最小值为．
故选B．