Question

设a+b+c=1，a²+b²+c²=1且a＞b＞c．求证：-＜c＜0．

Answer

为了求证c的不等式，设法构造出一个关于c的不等关系，本题考虑到a2+b2与a+b的关系，构造出ab，最后利用方程有根的条件解决．
证明：∵a2+b2+c2=1，
∴（a+b）2-2ab+c2=1．
∴2ab=（a+b）2+c2-1=（1-c）2+c2-1=2c2-2c．
∴ab=c2-c．
又∵a+b=1-c，
∴a、b是方程x2+（c-1）x+c2-c=0的两个根，且a＞b＞c．
令f（x）=x2+（c-1）x+c2-c，则；
即可得证．