Question

用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）=    ；g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ-1）=    ．

Answer

据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），令n=4求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）．
【解析】

由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n-1）
则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）
=2n[1+（2n+1-1）]/2+g（1）+g（2）+…+g（2n+1-2）=4n+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4n
分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+42+…+4n==（4n-1）
又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=（4n-1）+1
所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n-1）=（4n-1-1）+1
令n=4得
g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）=
故答案为85，（4n-1）．