Question

若数列{a_n}（n∈N^*）满足：（1）a_n≥0；（2）a_n-2a_n+1+a_n+2≥0；
（3）a₁+a₂+…+a_n≤1，则称数列{a_n}为“和谐”数列．
（Ⅰ）验证数列{a_n}，{b_n}，其中，是否为“和谐”数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}为“和谐”数列，证明：．

Answer

本题考查的是演绎推理，要判断一个数列是否是“和谐”数列，关键是要看这个数列是否符号“和谐”数列的定义．
（1）中要判断数列{an}（或{bn}）是否为和谐数列，则要判断①an≥0（或bn≥0）②an-2an+1+an+2≥0（或bn-2bn+1+bn+2≥0）③a1+a2+…+an≤1（或b1+b2+…+bn≤1）三个条件，如果全部符合，则为“和谐数列”对于（2）直接证明有难度，可以使用反证法来证明，即若若an-an+1≥0不恒成立，则数列{an}不为“和谐”数列，这与已知相矛盾，从而得到结论恒成立．
【解析】
（Ⅰ）数列{an}为“和谐”数列；数列{bn}不是“和谐”数列．
数列{an}显然符合（1）
因为所以符合（2）
因为，所以符合（3）
所以数列{an}为“和谐”数列．
对于数列{bn}，有bn＞0，
所以数列{bn}不满足（3），因此数列{bn}不是“和谐”数列．
（Ⅱ）反证法：若an-an+1≥0不恒成立，即存在自然数k，ak-ak+1＜0，ak+1＞ak，
由（2）可知，ak+2-ak+1≥ak+1-ak＞0，得ak+2＞ak+1，
依此类推当n≥k时，{an}递增，与对任意n，与a1+a2++an≤1矛盾，
所以an-an+1≥0
构造数列{bn}，令bn=an-an+1
由（2）可知an-an+1≥an+1-an+2，∴bn≥bn+1，a1+a2++an=a1+（-a2+2a2）+（-2a3+3a3）++[-（n-1）an+nan]≥a1+（-a2+2a2）+（-2a3+3a3）++[-（n-1）an+nan]-nan+1
=（a1-a2）+2（a2-a3）++n（an-an+1）=b1+2b2++nbn≥（1+2++n）bn
=，
由（3）知
得：
即：，所以