Question

如图，椭圆C₂的焦点为F₁，F₂，|A₁B₁|=，S_□B1A1B2A2=2S_□B1F1B2F2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A，B两点的直线||=1，是否存在上述直线l使=0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意可知a2+b2=7，a=2c，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使成立的直线l存在．
（i）当l不垂直于x轴时，根据题设条件能够推出直线l不存在．
（ii）当l垂直于x轴时，满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1，由A、B两点的坐标为或．当x=1时，=-．当x=-1时，=-．所以此时直线l也不存在．由此可知，使=0成立的直线l不成立．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知a2+b2=7，
∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2，
∴a=2c．
解得a2=4，b2=3，c2=1．
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使成立的直线l存在．
（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点，且||=1得
，即m2=k2+1，由得x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0，，①，，②
0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2
把①②代入上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，③
将m2=1+k2代入③并化简得-5（k2+1）=0矛盾．即此时直线l不存在．
（ii）当l垂直于x轴时，满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
由A、B两点的坐标为或．
当x=1时，==-．
当x=-1时，==-．
∴此时直线l也不存在．
综上所述，使=0成立的直线l不成立．