Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（2-m）x+2my-m-2=0上，其中m为常数，且m＞0．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列，并求其通项a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=f（b_n-1），（n∈N⁺，n≥2），求证：是等差数列，并求b_n；
（Ⅲ）设数列{c_n}满足c_n=b_nb_n+1，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N⁺）求T的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题设知（2-m）Sn+2man-m-2=0，当n=1时，a1=S1，（2-m）a1+2ma1-m-2=0，a1=1，当n≥2时，（2-m）Sn-1+2man-1-m-2=0，
两式相减得（2+m）an=2man-1，由此能求出其通项an；
（Ⅱ）由，知，，由此能证明成等差数列；
（Ⅲ）由{cn}满足，知Tn递增．，要满足Tn≥T对任意n∈N+都成立，．由此能求出T的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵点P（Sn，an）在直线（2-m）x+2my-m-2=0上，
∴（2-m）Sn+2man-m-2=0*（1分）
当n=1时，a1=S1，∴（2-m）a1+2ma1-m-2=0，
∴a1（m+2）=m+2∴a1=1，（2分）
当n≥2时，由*式知（2-m）Sn-1+2man-1-m-2=0**，
两式相减得（2+m）an=2man-1∵m＞0∴，
∴，
又当n=1时也适合，∴{an}是等比数列，
通项；（5分）

（Ⅱ）由Ⅰ知，
∴，
∴
即，又也适合，
∴成等差数列，（7分）
其通项，∴（9分）
（Ⅲ）∵{cn}满足Tn为数列{cn}的前n项和，
∴{Tn}是递增娄数列；（11分）
∴，要满足Tn≥T对任意n∈N+都成立，
∴．∴T的最大值为．（13分）