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已知点M是离心率是的椭圆C:(a>b>0)上一点,过点M作直线MA、MB交椭圆C...

已知点M是离心率是manfen5.com 满分网的椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)上一点,过点M作直线MA、MB交椭圆C于A,B两点,且斜率分别为k1,k2
(I)若点A,B关于原点对称,求k1•k2的值;
(II)若点M的坐标为(0,1),且k1+k2=3,求证:直线AB过定点;并求直线AB的斜率k的取值范围.
(I)先根据椭圆的离心率求得a和c的关系,进而求得a和b的关系,代入椭圆方程,设出A,B,M的坐标,把A,M代入椭圆方程,两式想减正好求得直线MA,MB的斜率之积结果为- (II)根据点M的坐标,可求得b,设出直线AB的方程,代入椭圆方程根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式,根据判别式求得t的范围,由k1+k2=3,求得A点横坐标和纵坐标的关系,把A点坐标代入直线求得A点横坐标和纵坐标的关系,然后联立求得t关于k的表达式,代入直线方程,根据直线AB过定点,进而把代入3k2+1>t2中即可求得k的范围. 【解析】 (I)由得,a2=3b2,椭圆方程为x2+3y2=3b2 设A(x1,y1),B(-x1,-y1),M(x,y) 由A,M是椭圆上的点得,x12+3y12=3b2①x2+3y2=3b2② ①-②得,(定值) (II)点M的坐标为(0,1),则b2=1,椭圆方程为x+3y2=3 显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+t,代入椭圆方程得, (3k2+1)x2+6ktx+3(t2-1)=0 △=36k2t2-12(3k2+1)(t2-1)>0, 化简得,3k2+1>t2(*) 由k1+k2=3得,③, 又y1=kx1+t,y2=kx2+t④, 由③,④得,(t-1)(x1+x2)+(2k-3)x1x2=0, 化简得,t=1(舍)或t=, 则直线AB的方程为 ∴直线AB过定点 将. ∴直线AB的斜率k的取值范围为∪(0,3)∪(3,+∞).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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