Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明：．

Answer

（1）由题意知，f（0）=g（0），解出a的值．
（2）分类讨论的方法化简f（x）+g（x）的解析式，再求出他们的单调增区间．
（3）把不等式的左边看成是一个数列，分析此数列的变化规律是c1≤c2≤c3≤c4，而c4＞c5＞c6＞…，故左边的最大值是c4，而c4＜4，不等式得到证明．
【解析】
（1）由题意，f（0）=g（0），
|a|=1又a＞0，
所以a=1．
（2）f（x）+g（x）=|x-1|+x2+2x+1
当x≥1时，f（x）+g（x）=x2+3x，它在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）+g（x）=x2+x+2，它在上单调递增．
（3）设，考查数列{cn}的变化规律：
解不等式，由cn＞0，上式化为
解得，因n∈N得n≥4，于是，c1≤c2≤c3≤c4，而c4＞c5＞c6＞…
所以，．