Question

例5．设f（x）=x²+px+q，A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}，
（1）求证：A∪B=B；
（2）如果A={-1，3}，求B．

Answer

（1）分析题意，要证A∪B=B，只需证明A⊆B即可，先设x∈A，根据题意，易得f[f（x）]=f（x）=x，易得x∈B，进而可得A⊆B，即可得证．
（2）根据题意，A={-1，3}，即x=x2+px+q有两根-1，3；根据根与系数的关系可得p、q的值，即可得f（x）的解析式，代入
x=f[f（x）]可得方程式，解可得B．
【解析】
（1）证明，设x∈A，
那么，根据A的定义，f（x）=x．
所以，f[f（x）]=f（x）=x．
所以x∈B．
从而A⊆B，故有A∪B=B；
（2）A={-1，3}，即x=x2+px+q有两根-1，3；
根据根与系数的关系可得，-1+3=-（p-1），则p=-1，
（-1）×3=q，则q=-3；
故f（x）=x2-x-3，
代入x=f[f（x）]可得，[x2-x-3]2-（x2-x-3）-3=x，
化简可得，x2-x-3=-1，x2-x-3=3，
解可得，x=3，-1，，-；
即B={3，-1，，-}．