Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=α与x=β处有两上不同的极值点，设f（x）在点（-1，f（-1））处切线为l₁，其斜率为k₁；在点
（1，f（1））利的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若
（2）若，求k₁k₂的取值范围．

Answer

（1）求出求出函数的导函数，因为两直线垂直得到斜率乘积为-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入到|α-β|=中得到②，然后①②解得b和c即可；
（2）把α=-代入到导函数中得到b与c的关系③，又因为β∈（0，1）得到f′（0）＜0，f′（1）＞0得到b与c的等式④，由③④解出c的取值范围，而表示出k1k2，由c的范围即可得到k1k2的范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2bx+c∵l1⊥l2，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x2+2bx+c=0的两根，∴
又∵②
由①②得
（2）③
∵④
由③④得：