Question

为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率值相同．
（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．

Answer

（1）由频率的意义可知，从上到下各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率=，由此计算填表中空格；
（2）由题意知：该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，根据二项分布的概率公式计算即可得其分布列，进而求得X的数学期望．
【解析】
（Ⅰ）由图中数据知，样本容量为50，根据频率=，①处=0.16×50=8；②处=；
③处填：50-44=6；④处填：．
故有：①8②0.44③6④0.12．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得p=0.4
（i）该同学恰好答满4道题而获得一等奖，
即前3道题中刚好答对1道，
第4道也能够答对才获得一等奖，
则有C31×0.4×0.62×0.4=0.1728．

（ii）由题设可知，该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，
P（X=2）=0.42=0.16，
P（X=3）=C21×0.4×0.6×0.4=0.192，
P（X=4）=C31×0.4×0.62+0.63=0.648，
分布列为：

E（X）=2×0.16+3×0.192+4×0.648=3.488．