Question

已知抛物线C：和定点P（1，2），A、B为抛物线C上的两个动点，且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数．
（I）求证：直线AB的斜率是定值；
（II）若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M，求M的轨迹方程；
（III）若A′与A关于y轴成轴对称，求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围．

Answer

（I）设点A（xA，yA），B（xB，yB）（xA≠xB），直线PA的斜率为k（k≠0），则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-2=k（x-1），由消y，得2x2-kx+k-2=0，再由韦达定理可以证明直线AB的斜率是定值；
（II）设点M（x，y）由y=2x2，得y'=4x，所以直线MA的方程为：y-yA=4xA（x-xA），同理可得直线MB的方程，所以，由此能求出动点M的轨迹方程．
（III）由已知，，所以kA'B=-2k，则直线A'B的方程为y-yB=kA'B（x-xB），由此能求出交点P的纵坐标的取值范围．
【解析】
（I）设点A（xA，yA），B（xB，yB）（xA≠xB），直线PA的斜率为k（k≠0），
则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-2=k（x-1），
由消y，得2x2-kx+k-2=0，
因为点P在曲线C上，
所以由韦达定理得，．
所以A，同理B（），（2分）
则（4分）
或由，同理，（2分）
∴，
又yA=2xA2，yB=2xB2，
∴yA-yB=2（xA+xB）（xA-xB），又xA≠xB，
∴．（4分）

（II）设点M（x，y）由y=2x2，得y'=4x，
所以直线MA的方程为：y-yA=4xA（x-xA），①
同理直线MB的方程为：y-yB=4xB（x-xB），②
由①②，得，③（6分）
把③代入①整理，得，
所以动点M的轨迹方程为x=-1（y＜2且y≠-6．（8分）

（III）由已知，，所以kA'B=-2k，
则直线A'B的方程为y-yB=kA'B（x-xB），
即y-yB=-2k（x-xB），（10分）
令x=0整理，得y=．
点P的纵坐标的取值范围是（-∞，-6）∪（-6，2）．（12分）