Question

设点P（x，y）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x²-y²=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点．
（1）求证：三点A、M、B共线．
（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程．

Answer

（1）先根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），将切线PA的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式等于0即可表示出切线的斜率，因此PA的方程和PB的方程都可以利用A，B两点的坐标表示，又P在PA、PB上，得到点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线yy=mx-1上，从而证得三点A、M、B共线，从而解决问题．
（2）设重心G（x，y），欲求△AMN的重心G所在曲线方程，即求出其坐标x，y的关系式，利用点A在双曲线上即可得重心G所在曲线方程．
证明：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得到y1y2≠0，且x12-y12=1，x22-y22=1，
设切线PA的方程为：y-y1=k（x-x1）由
得（1-k2）x2-2k（y1-kx1）x-（y1-kx1）2-1=0
从而△=4k2（y1-kx1）2+4（1-k2）（y1-kx1）2+4（1-k2）=0，
解得
因此PA的方程为：y1y=x1x-1
同理PB的方程为：y2y=x2x-1
又P（m，y）在PA、PB上，所以y1y=mx1-1，y2y=mx2-1
即点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线yy=mx-1上
又也在直线yy=mx-1上，所以三点A、M、B共线

（2）垂线AN的方程为：y-y1=-x+x1，
由得垂足，
设重心G（x，y）
所以
解得
由x12-y12=1可得即为重心G所在曲线方程