Question

过椭圆C：的右焦点作一直线l交椭圆C于M、N两点，且M、N到直线x=的距离之和为，求直线l的方程．

Answer

设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到直线x=的距离分别为d1，d2．先看当斜率不存在时，直线L的方程为x=，求得d1+d2=≠，不符合题意；再看当斜率存在时设直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，进而根d1+d2=求得x1+x2的值，进而建立等式求得k，则直线方程可得．
【解析】
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线L的方程为x=或y=k（x-），M，N到直线x=的距离分别为d1，d2．
（1）若直线L的方程为x=，有x1=x2=，d1=d2=-=，
d1+d2=≠，不合题设．
（2）若直线L的方程为y=k（x-），有
x2+4k2（x-）2-4=0
整理得：（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0
x1+x2=
∵d1=-x1，d2=-x2，d1+d2=
∴x1+x2=
∴=
解得：k=±
∴直线L的方程为：y=±（x-）