Question

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的极小值．

Answer

（I）先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（a+2）x+a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数研究函数的极小值．先求出在函数的导数，再结合导数值为0求出极值点，最后结合函数的单调性即可求得函数f（x）的极小值．
【解析】
f′（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]
（Ⅰ）f′（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]，
考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，
∴f（x）在R上单调等价于x2+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）2-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2]，（8分）
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（Ⅱ）当时，，，（10分）
令f′（x）=0，得，或x=1，
令f′（x）＞0，得，或x＞1，
令f′（x）＜0，得（12分）
x，f′（x），f（x）的变化情况如下表
所以，函数f（x）的极小值为f（1）=（14分）