Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．

Answer

法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．
（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．
法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；
（2）求出向量和，利用，即可解答本题．
【解析】
法一：
（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接，又，
故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等
腰直角三角形．
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，
所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角．
所以二面角A-EF-D的大小为．

法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．
取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，
又，，
所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角．．
所以二面角A-EF-D的大小为．