Question

如图所示，空间直角坐标系中，直三棱柱ABC-A′B′C′，AB=BC=2，BB′=2，N、M分别是A′C′、B′C′的中点．
（1）试画出该直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图．并标注出相应线段长度值；
（2）求证：直线AN与BM相交，并求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer

（1）要画直三棱柱的侧视图，我们可以直观图可得，B为直角，侧面是一个边长为2的正方形．
（2）要证明AN和BM相交，我们可以结合公理3，证明三线共点，要求二面角M-AN-C的余弦值，我们可以A为坐标原点，AB，AC，AA'，为坐标轴建立空间坐标系，利用空间向量求解．
【解析】
（1）直三棱柱ABC-A′B′C′的侧视图如下图示：

（2）证明：如下图所示：

∵由MN∥A'B'，MN=A'B'，
∴MN∥AB，MN=AB，
则四边形AMNB为梯形．
令AM∩BN=P，
则P∈AM，而AM⊂平面ACC'A'，P∈BN，BN⊂平面ACC'A'，
平面ACC'A'∩平面ACC'A'=CC'，∴P∈CC'．
∴直线AN与BM相交．
以A为坐标原点，AB，AC，AA'，为坐标轴建立空间坐标系，
则易得：平面MAN的一个法向量为，
平面CAN的一个法向量为，

故二面角M-AN-C的余弦值．