Question

已知实数a，b满足a²+b²=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是    ．

Answer

过点A作AM⊥y轴于M，或点B作BN⊥x轴于点N，延长MA，NB交于点P．进而可推断出S△AOB=SOMPN-S△OAM-S△OBN-S△PAB，用a，b分别表示它们的面积整理求得S△AOB的表达式，进而利用基本不等式求得ab的范围，进而求得△AOB的面积的取值范围．
【解析】
∵a2+b2=1 且a＞0，b＞0 则0＜a＜1，0＜b＜1
过点A作AM⊥y轴于M，或点B作BN⊥x轴于点N，延长MA，NB交于点P．
则S△AOB=SOMPN-S△OAM-S△OBN-S△PAB
=1-1•-1-（1-a）（1-b）
=-
∵1=a2+b2≥2ab，∴ab≤[当a=b=2时等号成立]
又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴ab＞0
∴-≤-＜0
∴≤-＜
即≤S△AOB＜
故答案为：