Question

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{a_n}满足a₁=e，．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项．

Answer

（1）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（2）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar，as，at，寻求矛盾即可．
【解析】
（I），得
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

∴当时，f（x）取得极大值，没有极小值；

（II）∵，
∴an+1=2an+e，
∴an=e（2n-1）
假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar，as，at（r＜s＜t），
则2as=ar+at，2e（2s-1）=e（2r-1）+e（2t-1），2s+1=2r+2t，
∴2s-r+1=1+2t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2s-r+1为偶数，1+2t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{an}中不存在成等差数列的三项．