Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q（-x，-y）在函数f（x）图象上，把Q（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，
进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min
【解析】
（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象上，
即-y=loga（-x+1），则
∴
（2）f（x）+g（x）≥m  即，
也就是在[0，1）上恒成立．
设，
则
由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范围是（-∞，0]