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已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线...

已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.
(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
(1)将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径,再求得圆心C到直线l的距离,由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得:L=2 最后由二次函数法求解. (2)由直线l与圆C相切,建立m与a的关系,|m-2a|=2,再由点C在直线l的上方,去掉绝对值,将m转化为关于a二次函数求解. 【解析】 (1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4), 则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2. 直线l的方程化为:x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是=|2-a|. 设直线l被圆C所截得弦长为L,由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是: L=2 ∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2. (2)因为直线l与圆C相切,则有, 即|m-2a|=2. 又点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m. ∴2a-m=2,∴m=-1. ∵0<a≤4,∴0<≤2. ∴m∈[-1,8-4].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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