Question

已知函数f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为ex＞0，所以将f（x）有零点转化为g（x）=x2-mx+m二次函数有零点的问题，即判别式大于等于0，可求解．
（2）对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，然后根据导函数的正负情况判断原函数的单调性可判断函数是否有最小值．
【解析】
（Ⅰ）设f（x）有零点，即函数g（x）=x2-mx+m有零点，
所以m2-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x-m）•ex+（x2-mx+m）•ex=x（x-m+2）ex，
令f'（x）=0，得x=0或x=m-2，
因为m＜0时，所以m-2＜0，
当x∈（-∞，m-2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（m-2，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时，f（x）存在最小值．f（x）的极小值为f（0）=m＜0．
根据f（x）的单调性，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，
解f（x）=0，得f（x）的零点为和，
结合f（x）=（x2-mx+m）•ex，
可得在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上，f（x）＞0
因为m＜0，所以x1＜0＜x2，
并且
==，
即x1＞m-2，
综上，在区间（-∞，x1）和（x2，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，m＜0，
所以，当m＜0时f（x）存在最小值，最小值为m．