Question

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+3=-a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2010项和S₂₀₁₀．

Answer

（1）依题意分别求得a1=1，a2=-2，a3=-3，a4=-1，a5=2，a6=3，则S6可得．
（2）把an+1=an+an+2和an+2=an+1+an+3两式相加求得an+3=-an．
（3）由（2）中的结论可得an+6=an．进而可知数列为以6为周期的数列，进而看2010是6的多少倍数，进而得到答案．
【解析】
（1）a1=1，a2=-2，a3=-3，a4=-1，a5=2，a6=3，
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，
（2）由条件得，
∴an+3=-an．
（3）由（2）的结论，
∴an+6=-an+3=an，即an+6=an．
a1=a，a2=b，a3=b-a，a4=-a，a5=-b，a6=a-b．
∴S6=0．
由（2）得S6n+k=Sk，n∈N*，k=1，，6．
∴S2010=S335×6=0．