Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax²+3是奇函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer

（1）由题意先求f（x）的导函数，利用导数的几何含义和切点的实质及g（x）为奇函数建立a，b，c的方程求解即可；
（2）有（1）可知函数f（x）的解析式，先对函数f（x）求导，再利用极值概念加以求解即可．
【解析】
（1）f′（x）=-3x2+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函数g（x）=-x3+bx+c+3是奇函数，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．
（2）f′（x）=-3x2-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=或x=-2，
 当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
所以f（x）极小=f（-2）=-11，f（x）极大=f．．