Question

定义y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比较f（1，3）与f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，证明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）设g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，曲线C在x处的切线斜率为k，若x∈（1，1-a），且存在实数b，使得k=-4，求实数a的取值范围．

Answer

（1）、由定义知f（x，y）=（1+x）y（x＞0，y＞0），分别求出f（1，3）与f（2，2）的值后再进行比较．
（2）、要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证xy＞yx即可．
（3）、由题意知：g（x）=x3+ax2+bx+1，且g'（x）=k，于是有3x2+2ax+b=-4在x∈（1，1-a）上有解．又由定义知log2（x3+ax2+bx+1）＞0即x3+ax2+bx＞0．然后再分类讨论，求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）由定义知f（x，y）=（1+x）y（x＞0，y＞0）
∴f（1，3）=（1+1）3=8，f（2，2）2=9∴f（1，3）＜f（2，2）．
（2）f（x-1，y）=xy，f（y-1，x）=yx
要证f（x-1，y）＞f（y-1，x），只要证xy＞yx
∵
令，则，当x＞e时，h'（x）＜0
∴h（x）在（e，+∞）上单调递减．
∵e＜x＜y∴h（x）＞h（y）即
∴不等式f（x-1，y）＞f（y-1，x）成立．
（3）由题意知：g（x）=x3+ax2+bx+1，且g'（x）=k
于是有3x2+2ax+b=-4在x∈（1，1-a）上有解．
又由定义知log2（x3+ax2+bx+1）＞0即x3+ax2+bx＞0
∵x＞1∴x2+ax＞-b
∴x2+ax＞3x2+2ax+4即ax＜-2（x2+2）
∴在x∈（1，1-a）有解．
设
①当即时，≥．
当且仅当时，
∴当时，∴．
②当1＜1-a≤时，即≤a＜0时，在x∈（1，1-a）上递减，
∴．∴整理得：a2-3a+6＜0，无解．
综上所述，实数a的取值范围为．