Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=4，，（n≥2，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2（n∈N^*），求证：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（1）由，可递推，两式作差得an-an-1=1进而得到通项公式．
（2）用数学归纳法证明，先由证当n=2时，不等式成立．再假设当n=k（k≥2，k∈N+）时，不等式成立，递推到当n=k+1时成立即可．
【解析】
（1）当n≥3时，，
，
可得：
∴an-an-1=1（n≥3，n∈N+）．
∵a1+a2=2a2+2-1，∴a2=3
可得，

（2）①当n=2时，b2=b12-2=14＞3=a2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N+）时，不等式成立，即bk＞k+1
那么，当n=k+1时，bk+1=bk2-（k-1）bk-2=bk（bk-k+1）-2＞2bk-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据①，②可知，当n≥2，n∈N+时，bn＞an．