Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且满足a²+b²=ab+4，．
（1）时，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积；
（2）求△ABC的面积等于的一个充要条件．

Answer

（1）先对sinC+sin（B-A）=2sin2A化简整理求得sinB=2sinA进而根据正弦定理求得b=2a，与题设等式联立求得a和b，最后利用三角形面积公式求得答案．
（2）先看当△ABC的面积等于，利用三角形面积公式求得ab的值，与题设等式联立求得a和b，推断出△ABC为正三角形求得c；同时看当，△ABC是边长为2的正三角形可求得三角形面积为，进而看推断出△ABC的面积等于的一个充要条件．
【解析】
（1）由题意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
由cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a
联立方程组解得，．
所以△ABC的面积
（2）若△ABC的面积等于，则，得ab=4．
联立方程组解得a=2，b=2，即A=B，又，
故此时△ABC为正三角形，故c=2，即当三角形面积为时，△ABC是边长为2的正三角形
反之若△ABC是边长为2的正三角形，则其面积为
故△ABC的面积等于的一个充要条件是：△ABC是边长为2的正三角形．