Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上．
（1）求k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若不等式对一切正整数n和实数λ均恒成立，求整数m的最小值．

Answer

（1）根据点在直线上，把点的坐标代入直线方程，得到两者之间的关系，给出当n=1时的结果，用待定系数法求出变量的值．
（2）根据所给的前n项和之间的关系，仿写一个关系式，两式相减得到通项之间的关系，从而得到数列是等比数列，注意验证首相是否符合．
（3）构造新的函数，注意函数的单调性，特殊项进行验证，把函数式进行整理，变为函数的恒成立问题，二次函数大于零恒成立，问题转换为二次函数的最值问题，利用判别式解决．
【解析】
（1）∵点（Sn，Sn+1）在直线y=kx+1上，
故Sn+1=kSn+1．
n=1时，a1+a2=ka1+1
又a1=1，a2=2，则1+2=k+1，∴k=2；
（2）由（1）知Sn+1=2Sn+1①
当n≥2时，Sn=2Sn-1+1②
①-②得an+1=2an（n≥2）
又a2=2a1，易见an≠0（n∈N+），∴=2（n∈N+）
故{an}成等比数列．
∴an=1×2n-1=2n-1．
（3）∵
在n≥3时，单调递增
在1≤n≤2时，单调递减
∴当n=2或3时，有最小值为
又不等式，对一切n∈N*恒成立．
∴，
对一切λ∈R恒成立．
∴，
∴整数m的最小值为-4．