Question

已知抛物线C：y=ax²，点P（1，-1）在抛物线C上，过点P作斜率为k₁、k₂的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且满足k₁+k₂=0．
（I）求抛物线C的焦点坐标；
（II）若点M满足，求点M的轨迹方程．

Answer

（I）将P代入抛物线C的方程即可求得a，进而抛物线的方程可得．
（II）设直线PA的方程为y+1=k1（x-1），与抛物线方程联立消去y，得到关于x1的一元二次方程根据韦达定理求得x1与k1的关系，同样设直线PB的方程为y+1=k2（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而可得x2与k2的关系，设点M的坐标为（x，y）根据向量的关系求得x=-1，得出M的轨迹．
【解析】
（I）将P（1，-1）代入抛物线C的方程y=ax2得a=-1，
∴抛物线C的方程为y=-x2，即x2=-y．
焦点坐标为F（0，-）．
（II）设直线PA的方程为y+1=k1（x-1），
联立方程消去y得x2+k1x-k1-1=0，
则1•x1=-k1-1，即x1=-k1-1．
由△=k12-4（-k1-1）=（k1+2）2＞0，得k1≠-2．
同理直线PB的方程为y+1=k2（x-1），
联立方程消去y得x2+k2x-k2-1=0，
则1•x2=-k2-1，即x2=-k2-1．且k2≠-2．
又∵k1+k2=0，∴k1≠2．
设点M的坐标为（x，y），由
又∵k1+k2=0，∴x=-1．

=-（k12+1）≤-1，
又k1≠±2，∴y≠-5．
∴所求M的轨迹方程为：x=-1（y≤-1且y≠-5）．