Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．

Answer

将圆C化成标准方程，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．因为CM⊥l，则有kCM•kl=-1，表示出直线l的方程，从而求得圆心到直线的距离，再由：求解．
【解析】
圆C化成标准方程为（x-1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即kCM•kl=×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|2=（）2=2（1-a）2
∴|MB|2=|CB|2-|CM|2=-2a2+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a2+4a+7=a2+b2，得a=-1或，b=2
当a=时，b=-，此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0．