Question

设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c．

Answer

因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），故先求出其斜率的值，先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等即可使问题解决．
【解析】
因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），
所以f（t）=0，
即t3+at=0．因为t≠0，所以a=-t2．
g（t）=0，即bt2+c=0，所以c=ab．
又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，
所以f′（t）=g′（t）．
而f′（x）=3x2+a，g′（x）=2bx，所以3t2+a=2bt．
将a=-t2代入上式得b=t．因此c=ab=-t3．
故a=-t2，b=t，c=-t3．