Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）是否存在自然数n，使得？若存在，求n的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意知an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），从而得到an-an-1=4（n=2，3，4，）．由此可知an=4n-3．所以．
（Ⅱ）由题设知==；计算可得答案．
（Ⅲ）由题设条件知，所以．由此可知存在满足条件的自然数n=20．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），（2分）
得an-an-1=4（n=2，3，4，）．（3分）
∴数列{an}是以a1=1为首项，4为公差的等差数列．（4分）
∴an=4n-3．（5分）．（6分）
（Ⅱ）=
=（8分）
==．（10分）
（Ⅲ）由Sn=2n2-n得：，（11分）
∴．（13分）
令n2=400，得n=20，所以，存在满足条件的自然数n=20．（14分）