Question

已知点A，B分别是射线l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的动点，O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2．
（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（II）过点N（0，2）作直线l，与曲线C交于不同的两点P，Q，与射线l₁，l₂分别交于点R，S，若点P，Q恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程．

Answer

（I）通过设A（x1，x1），B（x2，-x2），M（x，y），建立M与AB的关系，继而转化为x与y的关系，整理即可得到所以点M的轨迹方程．
（II）根据题意，因为l斜率存在，故设出直线方程．根据xP，xQ＞0以及由于P，Q为RS的三等分点分别得出一个等式，最后通过两个等式分别化简即可得出l的斜率．此时，直线方程即可得到．
【解析】
（I）由题可设A（x1，x1），B（x2，-x2），M（x，y），其中x1＞0，x2＞0．
则
∵△OAB的面积为定值2，
∴
（1）2-（2）2，消去x1，x2，
得：x2-y2=2．
由于x1＞0，x2＞0，
∴x＞0，
所以点M的轨迹方程为x2-y2=2（x＞0）．

（II）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2．
由
消去y得：（1-k2）x2-4kx-6=0，
设点P、Q、R、S的横坐标分别是xP、xQ、xR、xP，
∴由xP，xQ＞0得
解之得：．
∴．
由消去y得：，
由消去y得：，
∴．
由于P，Q为RS的三等分点，
∴|xR-xS|=3|xP-xQ|．
解之得．
经检验，此时P，Q恰为RS的三等分点，
故所求直线方程为．