Question

一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（Ⅰ）判断，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
（Ⅱ）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“保三角形函数”；
（Ⅲ）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A）是“保三角形函数”，求A的最大值．
（可以利用公式）

Answer

（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边（2）要想一个函数不是“保三角形函数”关键是根据题中条件g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），举出反例．（3）则是要利用“保三角形函数”的概念，求A的最值，观察到Sinx的最大值为1，且Sin=，故可猜想可能为分类讨论的分类标准，所以解答过程可通过对x与的关系进行分类讨论，最后给出结论．
【解析】
（I）f1（x），f2（x）是“保三角形函数”，f3（x）不是“保三角形函数”．
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
由于，所以f1（x），f2（x）是“保三角形函数”．
对于f3（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，
所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”．
（II）设T＞0为g（x）的一个周期，由于其值域为（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整数，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作为任何一个三角形的三边长．
故g（x）不是“保三角形函数”．
（III）A的最大值为
①若，
取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
但不能作为任何一个三角形的三边长，
故F（x）不是“保三角形函数”．
②当时，对任意三角形的三边a，b，c，若，则分类讨论如下：
（1）a+b+c≥2π，
此时，同理，，
∴，故，．
同理可证其余两式．
∴sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长．
（2）a+b+c＜2π
此时，，可得如下两种情况：时，由于a+b＞c，所以，．
由sinx在上的单调性可得；时，，
同样，由sinx在上的单调性可得；
总之，．
又由及余弦函数在（0，π）上单调递减，
得，
∴．
同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc也是某个三角形的三边长．
故时，F（x）是“保三角形函数”．
综上，A的最大值为．