Question

已知数列{a_n}满足：，a_na_n+1＜0（n≥1），数列{b_n}满足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（Π）证明：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．

Answer

（1）对化简整理得，令cn=1-an2，进而可推断数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得cn，则a2n可得，进而根据anan+1＜0求得an．
（2）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}为等比数列，于是有br＞bs＞bt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，
令cn=1-an2，则
又，则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，即，
故，
又，anan+1＜0
故
（Ⅱ）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，
由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，于是有2bs=br+bt成立，则只有可能有2br=bs+bt成立，
∴
化简整理后可知，由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．