Question

已知数列{a_n}为等差数列．
（1）若a₁=3，公差d=1，且a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，求m的最大值；
（2）对于给定的正整数m，若a₁²+a_m+1²=1，求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

Answer

（1）不等式左侧可先加上a1，再减去a1，构造出一个等差数列前m项和的形式，代入公式求解即可；
（2）由等差数列的前n项和公式可得要求S的最大值，只需求am+1+a2m+1的最大值，设am+1+a2m+1=A，根据等差数列的性质推出A与a1、am+1的关系，代入已知条件，消去am+1，得到a1、A的方程，利用方程有解，即可求出A的范围，故本题可解．
【解析】
（1）由a12+a2+a3+…+am≤48，
可得：a12-a1+a1+a2+a3+…+am≤48，
又a1=3，d=1，可得：．（4分）
整理得：m2+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7，即m的最大值为7．（6分）
（2）【解析】
（8分）
设am+1+a2m+1=A，
则A=am+1+a2m+1+a1-a1=am+1+2am+1-a1=3am+1-a1．
则，由，可得：10a12+2Aa1+A2-9=0，（10分）
由△=4A2-40（A2-9）≥0，可得：．（12分）
所以．（14分）