Question

某同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
（1）函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）函数f（x）在R上是增函数；
（4）函数g（x）=f（x）-b（b为常数，b∈R）必有一个零点．
其中正确结论的序号为    ．（把所有正确结论的序号都填上）

Answer

充分利用题中的函数（x∈R）解析式特点，研究函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、零点等，逐一分析各个选项的正确性．
【解析】
∵函数f（x）的定义域是实数集，f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数，故（1）正确；
∵|f（x）|=＜1，∴-1＜f（x）＜1，故（2）正确；
∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在其定义域内是增函数，故（3）正确；
令函数g（x）=f（x）-b=0   ①，即f（x）=b，∵由（2）知：-1＜f（x）＜1，
∴当b≥1或b≤-1时，①无解，即函数g（x）=f（x）-b无零点；故（4）不正确．
综上，中正确结论的序号为（1）、（2）、（3）．