Question

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D为A₁B₁的中点）
（Ⅰ）求证：C₁D⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）当点F在棱BB₁上的什么位置时，有AB₁⊥平面C₁DF，请证明你的结论
（Ⅲ）对（2）中确定的点F，求三棱锥B₁-C₁DF的体积．

Answer

Ⅰ．直三棱柱的直观图及三视图如图所示，证线面垂直，需证线线垂直，可根据三棱柱的面的关系来证明．
Ⅱ．证点F在棱BB1上的什么位置时，有AB1⊥平面C1DF，根据图形性质找点，逆推一下即可．
Ⅲ．根据三视图提供数据，找出高和底面，求出体积即可．
证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的
直三棱柱ABC-A1B1C1，，
棱AA1⊥平面A1B1C1，，
A1C1=B1C1=1，
Ⅰ．∵D为A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，
∵AA1⊥平面A1B1C1C1D⊂平面A1B1C1，
∴C1D⊥AA1，AA1∩A1B1=A1，∴C1D⊥平面ABB1A1
Ⅱ．当点F在棱BB1上的中点时，有AB1⊥平面C1DF
证明：连接DF，A1B，∴DF||A1B，∵，
∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，∴AB1⊥DF，
由Ⅰ知C1D⊥A1B，DF∩C1D=D∴AB1⊥平面C1DF
Ⅲ．设AB1∩DF=G，B1G为三棱锥B1-C1DF的高，
，（12分）
可求得，体积