Question

已知抛物线y²=2x．
（1）在抛物线上任取二点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），经过线段P₁P₂的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P₃，证明△P₁P₂P₃的面积为；
（2）经过线段P₁P₃、P₂P₃的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q₁、Q₂，试将△P₁P₃Q₁与△P₂P₃Q₂的面积和用y₁，y₂表示出来；
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P₁P₂与抛物线所围成的图形的面积．

Answer

（1）根据P1和P2的坐标可表示出P1P2的中点的坐标，进而求得P3的横坐标和纵坐标．代入△P1P2P3的面积表达式，化简整理即可．
（2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积．
（3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于+（+）可得到答案．
【解析】
（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2，y2），
∴P1P2的中点为
点P3的横坐标，纵坐标
△P1P2P3的面积=的绝对值
=
=
=
=
=．

（2）∵P1的坐标为（x1，y1），
P3的坐标为，
∴P1P3的中点为，
点Q1的横坐标，纵坐标
同理，点Q2的横坐标，纵坐标
△P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积
=的绝对值+的绝对值
=
=-y2|•|（y2-y1）2|
=．

（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积
S=+（+）
=
=．