Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设∠MNB=θ，MN=l．
（1）试将l表示成θ的函数；
（2）求l的最小值．

Answer

（1）将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，则△MNE≌△MNB，EM+BM，由∠MNB=θ，MN=l．由AB=6cm，我们可得EM+AM=6，然后将EM与BM分别用含θ的式子表示，代入即可得到l表示成θ的函数的解析式．
（2）根据（1）的结论，分析θ角的取值范围，利用导数法求出函数的单调性，进而求出l的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由题设，如图所示，△NBM≌△NEM，∠MNB=θ，MN=l，
∴∠AEM=90°-2θ，则MB=lsinθ，AM=l•sinθsin（90°-2θ），
由题设得：AM+MB=lsinθ+l•sinθsin（90°-2θ）=6，
从而得，
即：，
由得：，
故：l表示成θ的函数为：，（）．
（Ⅱ）设：sinθ=t则u=t（1-t2）=t-t3，即u=t-t3，
，u′=1-3t2令u′=0，得当时，
u′＞0，当时，u′＜0，所以当时，
u取到最大值：，
∴l的最小值为．