Question

半径为R的球O的截面BCD把球面面积分为两部分，截面圆O₁的面积为12π，2OO₁=R，BC是截面圆O₁的直径，D是圆O₁上不同于B，C的一点，CA是球O的一条直径．
①求证：平面ADC⊥平面ABD；
②求三棱锥A-BCD的体积最大值；
③当D分BC的两部分的比BD：DC=1：2时，求二面角B-AC-D的正切值．

Answer

①证明平面ADC内的直线DC，垂直平面ABD内的两条相交直线AB，BD，即可证明平面ADC⊥平面ABD；
②先求出球的半径，AB=4，要VA-BCD取最大，则需S△BCD取最大即可；
③D分BC的两部分的比BD：DC=1：2，过D作DE⊥BC则DE⊥平面ABC，过D作DF⊥AC于F，连EF，∠EFD为二面角D-AC-B的平面角，解三角形即可求二面角B-AC-D的正切值．
【解析】
（1）连OO1，则OO1⊥面BDC△ABC中，
OO1∥AB
∴AB⊥面BCD，
∵CD在面BCD内
∴AB⊥DC又由题意知BD⊥DC且AB∩BD=B
∴CD⊥面ABD∵CD在面ACD内
∴面ACD⊥面ABD（4分）
（2）∵S⊙=12π∴O1C=2R=2OO1
在△O1OC中OO12+O1C2=R2
∴R=4OO1=2∵AB=2OO1∴AB=4
∵AB⊥面BDC，
要VA-BCD取最大，则需S△BCD取最大
∵（A△BCD）max=（9分）
（3）当弧BD：弧DC=1：2时∠BO1D=60°，∠DO1C=120°
∴BD=CD=6
∵AB⊥面BDC∴面ABC⊥面BDC，面ABC∩面BCD=BC
过D作DE⊥BC则DE⊥平面ABC，过D作DF⊥AC于F，
连EF则∠EFD为二面角D-AC-B的平面角，
在△ADC中，DF=
在△DC中，
∴二面角D-AC-BD的大小为atcsin（14分）