Question

如图，⊙O₁与⊙O₂交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E；且AD=19，BE=16，BC=4，则AE=    ．

Answer

利用相交弦定理推出AB•CD=BC•DE．设CD=x，表示出AB、DE然后解出x，再求出AE．
【解析】
因为A，M，D，N四点共圆，所以AC•CD=MC•CN．同理，有BC•CE=MC•CN．
所以AC•CD=BC•CE，即（AB+BC）•CD=BC•（CD+CE），
所以AB•CD=BC•DE．
设CD=x，则AB=AD-BC-CD=19-4-x=15-x，DE=BE-BC-CD=16-4-x=12-x，
则（15-x）x=4（12-x），即x2-19x+48=0，解得x=3或x=16（舍）．
AE=AB+DE-BD=19+16-7=28．
故答案为：28