Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁和DD₁的中点．
（1）求证：平面B₁FC₁∥平面ADE；
（2）试在棱DC上取一点M，使D₁M⊥平面ADE；
（3）设正方体的棱长为1，求四面体A₁-FEA的体积．

Answer

（1）证明四边形DFB1E为平行四边形，再利用AD∥B1C1，这样，面平面B1FC内有2条相交线B1C1和B1F平行于另一个平面．
（2）取DC中点M，证明D1M⊥B1C1，D1M⊥FC1，从而D1M⊥平面B1FC1，再根据平面B1FC1∥平面ADE，证得D1M⊥平面ADE．
（3）等体积法，四面体A1-FEA和四面体F-EAA1等体积，而面体F-EAA1的高是正方体棱长，面积是正方体一个面的面积，所以体积可求．
【解析】
（1）证明：∵E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1和DD1中点．∴DF∥B1E且DF=B1E
∴四边形DFB1E为平行四边形，
即FB1∥DE，
由∵AD∥B1C1（2分）
又AD∩DE=D，B1C1∩B1F=B1
∴平面B1FC∥平面ADE．（4分）

（2）证明：取DC中点M，连接D1M，
由正方体性质可知，D1M⊥B1C1，
且△DD1M≌△C1D1F  （5分）
所以∠D1C1F=∠DD1M，
又∠D1C1F+∠D1FC1=90
所以∠D1D1M+∠D1FC1=90
所以D1M⊥FC1（6分）
又FC1∩B1C1=C1
∴D1M⊥平面B1FC1
又由（1）知平面B1FC1∥平面ADE．
所以D1M⊥平面ADE．（8分）

（3）【解析】
由正方体性质有点F到棱AA1的距离及点E到侧面A1ADD1的距离都是棱长1（9分）
∴
∴（12分）