Question

已知函数
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x，使f（x）=x，则称x为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断．
（2）令转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值．
（3）将函数解析式代入f（x）＜2x中，整理为，在根据基本不等式的知识求出的最小值，令此最小值大于，即可求出a的范围．
【解析】
（1）
对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2

∵x1＞x2＞0
∴x1-x2＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
（2）【解析】
令，
令（负值舍去）
将代入ax2-x+a=0得
（3）∵f（x）＜2x
∴
∵x＞0
∴（等号成立当）
∴
∴a的取值范围是