Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是BB₁和BC的中点，AB=4，AD=2，B₁D与平面ABCD所成角的大小为60°，求异面直线B₁D与MN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

先求出高B1B，再通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值，再用方三角函数值表示即可．
【解析】
连接B1C，由M、N分别是BB1和BC的中点，得B1C∥MN，
∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角、
连接BD，在Rt△ABD中，可得BD=2，又BB1⊥平面ABCD，∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角，∴∠B1DB=60°、
在Rt△B1BD中，B1B=BDtan60°=2，
又DC⊥平面BB1C1C，∴DC⊥B1C，
在Rt△DB1C中，tan∠DB1C=，
∴∠DB1C=arctan、
即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan、