Question

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q⊥AP，并证明你的结论．

Answer

（1）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间坐标系，求出面BDD1B1的一个法向量，以及，求出这两向量的夹角，最后求出此角的补角即可；
（2）假设在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP．等价于，建立等量关系，求出x即可．
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（1，0，0），B（1，1，0），
P（0，1，m），C（0，1，0），
D（0，0，0），B1（1，1，2），D1（0，0，2）．
所以，
．
又由的一个法向量．
设AP与面BDD1B1所成的角为θ，
则=，
解得．故当时，
直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；（5分）

（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则．
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP．等价于
即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求．（10分）