Question

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer

（Ⅰ）首先由题设条件右以判断函数f（x）是凹函数，然后用函数单调性的定义进行证明
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（（x3，y3），且x1＜x2＜x3，由f（x）是x∈R上的单调减函数知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），由此能够推导出＜B是钝角，所以△ABC为钝角三角形．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
=
=
=
∵
∴
∴
∴
∴
∴∴f（x）是凹函数（7分）
（Ⅱ）证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（（x3，y3），
且x1＜x2＜x3，∵f（x）是x∈R上的单调减函数∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）∴
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0
∴
故△ABC为钝角三角形．（13分）