Question

对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于两点A_n、B_n，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|的值为   

Answer

An、Bn，是抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴的交点，所以其横坐标为（n2+n）x2-（2n+1）x+1=0的根，由根与系数的关系可得，+=，=因为|AnBn|=|-|，将其用两根之和与两根之积表示出来，化简即可得出线段|AnBn|的表达式．
【解析】
由已知An、Bn的横坐标为（n2+n）x2-（2n+1）x+1=0的根，
由根与系数的关系可得，+=，=①
因为|AnBn|=|-|=②
将①中的数据代入②整理得|AnBn|=-
故|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|=1-+-+…+-=
故应填．