Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（0，0），导数f′（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）是整数的个数记为a_n．
（1）求a、b、c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）先根据f（0）=0求得c，进而对函数f（x）的解析式求导，进而求得b和a．
（2）先根据题意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1进而求得 an+1两式相减可推断数列{an}是等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（3）把（2）中求得的an代入bn，进而利用裂项法求和．
【解析】
（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依题意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，an+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a1=5
∴数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，
∴an=5+（n-1）×2=2n+3
（3）bn==-，{bn}的前n项和 Sn=-+-+…+--=--=